记录一道泰勒公式相关的考研数学题

今天，有个学长（烤盐糕守）发给了我一道树穴题（据说是刚出锅的热乎题）

问题：极限

方法一：洛！

计算量巨大，不做展开

方法二：泰勒

先放答案：

1. 分母（式①到式②）怎么来的？

因为无穷小的运算法则：，低阶（无穷小）相应的更大，而分母的泰勒展开是直接要最小项的（无穷小的运算法则让它展开为最小项），所以要用更大的那个无穷小去算

对于分母 ，cos的阶数是 平方，所以取 作为实质的最小项（ 消掉了） 如果只取sin的第一项： 显然是不完整的，有一部分的 未考虑

综上所述：分母的泰勒展开是直接要最小项的，但是不是只取最终项，要完整的求出最小项（如本题中，是 ），根据如何得到最小项来判断泰勒展开需要多少项（其实展开多了也没事，反正不会是最小项）

2. 分子（式③到式④）怎么来的？

分子泰勒展开，展开到和分母一样的阶数即可⑤

式子 中，分母是四次方，所以分子也要展开到四次方（见后文，删除线中的内容和因果关系是错误的，但是本题中确实是展开到四次方） 相关例题：

试计算

解：

3. 为什么分子分母要等阶（⑤）？

高阶无穷小+低阶无穷小=低阶无穷小

所以无论展开几项都是一样的，都会只有最低阶（即展开后较靠前的部分）对于极限的计算有影响

故 无论分子分母，只需要展开到最低阶（即最终式子剩下的最低阶）

无需证明是否在极限值附近有界，只需要分子分母分别展开即可（这也是上文中删除线中句子错误的原因）

4. 总结

计算此类题目（无法使用等价无穷小），只需要将分子分母中可以展开的项分别展开（目的是为了消项），展开到保留（最终结果的）最小项，再进行运算比较即可