记录一道泰勒公式相关的考研数学题

今天，有个学长（烤盐糕守）发给了我一道树穴题（据说是刚出锅的热乎题）

问题：极限 $lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{(x-ln(1+x))(1-cosx)}{x^2-sin^2xcosx}=?$

方法一：洛！

计算量巨大，不做展开

方法二：泰勒

先放答案：

$\begin{align*} &\ \ \ \ \ lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{(x-ln(1+x))(1-cosx)}{x^2-sin^2xcosx}\enclose{circle}{1}\\ &= lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{(x-ln(1+x))(1-cosx)}{x^2-(x-\frac{1}{6}x^3)^2(1-\frac{x^2}{2})}\enclose{circle}{2}\\ &= lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{(x-ln(1+x))(1-cosx)}{\frac{5}{6}x^4}\enclose{circle}{3}\\ &= lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{(x-(x-\frac{x^2}{2}))\frac{x^2}{2}}{\frac{5}{6}x^4}\enclose{circle}{4}\\ &= \frac{3}{10}\enclose{circle}{5} \end{align*}$

分母（式①到式②）怎么来的？

因为无穷小的运算法则：$o(x^n)+o(x^m)=o(x^{min(n,m)})$，低阶（无穷小）相应的更大，而分母的泰勒展开是直接要最小项的（无穷小的运算法则让它展开为最小项），所以要用更大的那个无穷小去算

对于分母 ${x^2-sin^2xcosx}$，cos的阶数是平方，所以取 $x^4$ 作为实质的最小项（$x^2$ 消掉了）

$\begin{align*} &\ \ \ \ \ lim_{x\rightarrow 0}\ {x^2-sin^2xcosx}\\ &= lim_{x\rightarrow 0}\ x^2-(x-\frac{1}{6}x^3)^2(1-\frac{x^2}{2})\\ &= lim_{x\rightarrow 0}\ x^2-(x^2-\frac{1}{3}x^4+\frac{1}{36}x^6)(1-\frac{x^2}{2})\\ &容易观察到，x^2项全消了，所以最小项就是x^4\\ &= lim_{x\rightarrow 0}\ \frac{1}{3}x^4 * 1 + x^2 * \frac{x^2}{2} \\ &= lim_{x\rightarrow 0} \frac{5}{6}x^4 \end{align*} \\$

如果只取sin的第一项：

$(错误示范)\\ \begin{align*} &\ \ \ \ \ lim_{x\rightarrow 0}\ {x^2-sin^2xcosx}\\ &= lim_{x\rightarrow 0}\ x^2-x^2(1-\frac{x^2}{2})\\ &= lim_{x\rightarrow 0}\ \frac{x^4}{2} \end{align*} \\$

显然是不完整的，有一部分的 $x^4$ 未考虑

综上所述：分母的泰勒展开是直接要最小项的，但是不是只取最终项，要完整的求出最小项（如本题中，是 $x^4$ ），根据如何得到最小项来判断泰勒展开需要多少项（其实展开多了也没事，反正不会是最小项）

分子（式③到式④）怎么来的？

分子泰勒展开，展开~~到和分母一样的阶数~~即可⑤

式子 $lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{(x-ln(1+x))(1-cosx)}{\frac{5}{6}x^4}$ 中，~~分母是四次方，所以分子也要展开到四次方~~（见后文，删除线中的内容和因果关系是错误的，但是本题中确实是展开到四次方）

$\begin{align*} &\ \ \ \ \ lim_{x\rightarrow 0}\ (x-ln(1+x))(1-cosx) \\ &= lim_{x\rightarrow 0}\ (x-(x-\frac{1}{2}x^2))\frac{x^2}{2} \\ &= lim_{x\rightarrow 0}\ \frac{x^4}{4} \end{align*}$