写了一下午，最后发现推导的结论是错的
蚌埠住了，布响丸辣

我们早在高中就学过以下不等式串

今天刷张宇的时候，又遇到了这个问题；一般而言这个不等式串背过就行了，直接套用即可，但是我忘了，然后就不会了（大雾

这样死记硬背有利于短期记忆，所以我们进一步研究，本文致力于让读者深入理解和更好的记忆该不等式

我的切入点是切入面（字面意思），也就是看截面；不妨写成$z=$的形式获得到四个式子

我们使用绘图软件画出这四个式子可以很直观的发现

后面进行分析

第一个$z=\sqrt\frac{x^2+y^2}2$（青色图像），等价于$z^2=\frac{x^2+y^2}2$，一个很典型的圆锥

具体来说，设有圆形且圆的半径满足$r^2=x^2+y^2$，这时满足$z=\frac{\sqrt2}2r$

第二个$z=\frac{x+y}{2}$（紫色图像），这是个没有任何弯曲的平面

第三个$z=\sqrt{xy}$（蓝色图像），若不考虑$z$，则$x$和$y$的关系是反比例，图像如下

切一个面，切出来是反比例函数，也就是双曲线

第四个$z=\frac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}$（棕色图像），该图像如果使用z=k进行切割，将会切出双曲线，故我们使用$x+y=k$进行切割

容易计算这时$z=2x-\frac{2x^2}k$是个双曲线；图像如下

image-20250205165529486

这时候就有人要问了，为什么别的式子都是直接切$z=k$，偏偏最后一个要切$x+y=k$非要搞特殊

这时不得不拿出这张众人皆知的图了

看蓝色部分，也就是抛物线部分，它是竖着切的

其他几个不完全是竖着切的，所以上述切法仅仅是投影，除了圆形，其他的不准确，但不影响判断图像性质（即分辨圆形、椭圆或双曲线抛物线），即离心率范围不会跨越

回归正题，我们该如何记忆不等式呢？就记忆离心率即可

离心率越小，在不等式的位置越大

诶好像不太对劲~