我被高数积分卡死了喵

做到高数这一章，发现积分真有困难吧

然后就推导了一遍，相对好记忆很多

这十条基本可以分为以下四部分：

第一类用导数来倒着记 -> ①幂函数、②对数、③指数、④中的6个基础三角函数、⑤⑥中不带参数 \(a\) 的反三角
第二类初级变形凑微分 -> ④中的 \(\tan x, \cot x\)（凑微分），⑩的平方类 \(\sin^2 x, \cos^2 x\)（三角降幂公式）
第三类无中生有与裂项 -> ④中的 \(\sec x, \csc x\)（上下同乘神仙因子），⑧ \(\frac{1}{x^2-a^2}\)（分式裂项）
第四类就用那三角换元 -> ⑤⑥带有参数 \(a\) 的推广，以及最复杂的 ⑦, ⑨；看到 \(a^2+x^2\) 想到 \(\tan\)，看到 \(a^2-x^2\) 想到 \(\sin\)

第一类导数倒着记

因为 \(F'(x) = f(x)\)，所以 \(\int f(x)dx = F(x) + C\)

1.1 幂函数与对数（图中的 ①、②）

谁求导变为 \(x^k\)

\(k \neq -1\) 时，\(\left( \frac{1}{k+1} x^{k+1} \right)' = x^k \implies \int x^k dx = \frac{1}{k+1} x^{k+1} + C\)

\(k = -1\) 时，也就是 \(\frac{1}{x}\)，\((\ln|x|)' = \frac{1}{x} \implies \int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C\)

1.2 指数函数（图中的 ③）

\(\int e^x dx = e^x + C\)

\(\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C\)

1.3 六个基础三角函数（图中的 ④ 的一部分）

积出 co 就加负号

\((\sin x)' = \cos x \implies \int \cos x dx = \sin x + C\)

\((\cos x)' = -\sin x \implies \int \sin x dx = -\cos x + C\)

\((\tan x)' = \sec^2 x \implies \int \sec^2 x dx = \tan x + C\)

\((\cot x)' = -\csc^2 x \implies \int \csc^2 x dx = -\cot x + C\)

\((\sec x)' = \sec x \tan x \implies \int \sec x \tan x dx = \sec x + C\)

\((\csc x)' = -\csc x \cot x \implies \int \csc x \cot x dx = -\csc x + C\)

1.4 两个最基础的反三角函数（图中的 ⑤、⑥ 的前半部分，没有参数a的）

\((\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2} \implies \int \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan x + C\)

\((\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \implies \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \arcsin x + C\)

第二类初级变形与凑微分

2.1 凑微分（专治 \(\tan x\) 和 \(\cot x\)）

需要用到 \(\int f'(x) dx=\int df(x)\)

所以有 \(\int \frac{\sin x}{\cos x} dx = -\int \frac{1}{\cos x} d(\cos x)\)

\(\int \tan x dx = -\ln|\cos x| + C\)

\(\int \cot x dx = \ln|\sin x| + C\)

2.2 （专治第⑩组：带平方的三角函数）

降幂法（针对 \(\sin^2 x\) 和 \(\cos^2 x\)）

二倍角公式：\(\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x = 2\cos^2 x - 1\)

\(\int \sin^2 x dx=\frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C\)

\(\int \cos^2 x dx=\frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C\)

平方关系法（针对 \(\tan^2 x\) 和 \(\cot^2 x\)）

平方关系 \(1 + \tan^2 x = \sec^2 x\)，\(1 + \cot^2 x = \csc^2 x\)

\(\int \tan^2 x dx= \tan x - x + C\)

\(\int \cot^2 x dx=-\cot x - x + C\)

第三类无中生有与裂项

3.1 无中生有

\(\int \sec x dx= \ln|\sec x + \tan x| + C\)

\(\int \csc x dx= \ln|\csc x - \cot x| + C\)

3.2 裂项相消

\(\int \frac{1}{x^2-a^2} dx= \frac{1}{2a} \ln \left| \frac{x-a}{x+a} \right| + C\)

如果分母反过来，其实就是提一个负号出来，对数里的分子分母就倒过来了

\(\int \frac{1}{a^2-x^2} dx=\frac{1}{2a} \ln \left| \frac{a+x}{a-x} \right| + C\)

总结： - 遇到 \(\sec x\) -> 无中生有，乘 \((\sec x + \tan x)\) - 遇到 \(\frac{1}{x^2-a^2}\) -> 裂项大法，拆 \(\frac{1}{2a}\) 和两个分式

第四类三角换元

包含：⑤和⑥（带有参数 \(a\) 的 \(\arctan\) 和 \(\arcsin\)），以及最长的⑦和⑨（含有根号的对数型和长串型）

核心：利用三角公式，把多项式变成单项式的平方，从而消灭加减号或根号

看到 \(a^2 + x^2\) \(\implies\) \(1 + \tan^2 t = \sec^2 t\) \(\implies\) 令 \(x = a \tan t\)
看到 \(a^2 - x^2\) \(\implies\) \(1 - \sin^2 t = \cos^2 t\) \(\implies\) 令 \(x = a \sin t\)

\(\int \frac{1}{a^2+x^2} dx= \frac{1}{a} \arctan\frac{x}{a} + C\)

\(\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} dx= \arcsin\frac{x}{a} + C\)

\(\arctan\) 有 \(\frac{1}{a}\) 是因为分母没有根号，生成了 \(a^2\)；\(\arcsin\) 没有 \(\frac{1}{a}\) 是因为分母有根号，把 \(a^2\) 劈成了 \(a\)，和分子的 \(dx\) 产生的 \(a\) 同归于尽了

\(\int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}} dx = \ln(x + \sqrt{x^2+a^2}) + C\)

总结

导数认亲局 -> 不用推，直接倒背导数表：\(x^k, a^x, e^x, \sin, \cos\)
凑微分与降幂局 -> 对付 \(\tan x\) 拆解法，对付 \(\sin^2 x\) 降幂法
无中生有与裂项局 -> 对付 \(\sec x\) 强行乘因式，对付 \(\frac{1}{x^2-a^2}\) 分母裂项
三角换元大招局 -> 对付根号和平方和，设 \(x=a\tan t\) 或 \(a\sin t\)

这是全部了吗？就书上的“基本积分公式表”而言，这是全部了。

这些够用了吗？从公式储备的角度来说绝对够了，从做题能力的角度来说这只是基石，还需要 kuku 刷题