记录一道很有意思的简单考研数学题（奇偶性相关）

题目描述：设 $f(x)=\frac{1}{2^x+1},x\in \mathbb{R},$ 则$f^{(100)}(0)=?$（即100阶导数）

学长听说我学完张宇第一章了，便给了我这道题检验学习成果

第一章全是极限相关的，但对于这道题，我翻来覆去也没看出哪里和极限相关的

于是乎只能硬导，企图寻找规律；奈何本人计算能力一般，算了三遍三阶导，每一遍都不一样

于是乎我去请教学长，得知和奇偶性相关，于是记录一下做法

简单地：$f(x)=\frac{1}{a^x+1}-\frac12$ 是奇函数，故而求导后是偶函数并且 $-\frac12$ 没了，这

第一步：化简函数

写成以 $e$ 为底：$f(x) = \frac{1}{e^{x \ln 2} + 1}$

第二步：中心对称性

$f(-x) = \frac{1}{2^{-x} + 1} = \frac{1}{\frac{1}{2^x} + 1} = \frac{2^x}{1 + 2^x}$

注意到：$f(x) + f(-x) = \frac{1}{1+2^x} + \frac{2^x}{1+2^x} = 1$

因此：$f(-x) = 1 - f(x)$

第三步：推导对称性条件对导数的影响

两边对 (x) 求导：

一阶导：$f'(-x) \cdot (-1) = -f'(x) \implies f'(-x) = f'(x)$ 所以 (f'(x)) 是偶函数。
二阶导：对上式再求导：$f''(-x) \cdot (-1) = f''(x) \implies f''(-x) = -f''(x)$ 所以 (f''(x)) 是奇函数。

由此可以推得一般规律： $f^{(n)}(-x) = (-1)^{n+1} f^{(n)}(x)$

第四步：代入 (x=0)

令 (x=0)，得到：$f^{(n)}(0) = (-1)^{n+1} f^{(n)}(0)$

若要使该等式成立：

当 $(-1)^{n+1} = 1$，即 (n) 为奇数时，方程恒成立；
当 $(-1)^{n+1} = -1$，即 (n) 为偶数时，必须 $f^{(n)}(0)=0$。

第五步：结论

因为 (100) 是偶数： $$ \boxed{f^{(100)}(0) = 0} $$

如果我想直接求导呢？好像确实可以，要用到双曲正切~

下面的GPT给出的解法，我还没看懂：

用一点恒等变换就能把“死算导数”变成有规律的公式，既能解释为什么偶数阶导数在 $0$ 为 $0$，也能写出任意奇阶导数的闭式表达（含伯努利数）。步骤和结论如下。

先把 $2^x$ 写成指数形式并作代换：

\[ f(x)=\frac{1}{1+2^x}=\frac{1}{1+e^{ax}},\qquad a=\ln 2. \]

利用双曲正切的恒等式

\[ \frac{1}{1+e^{y}}=\frac{1-\tanh\frac{y}{2}}{2}, \]

令 $y=ax$ 得

\[ f(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\tanh\!\left(\frac{a}{2}x\right). \]

记 $b=\frac{a}{2}=\frac{\ln 2}{2}$。于是

\[ f(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\tanh(bx). \]

由此得到两个直接结论：

$\tanh(z)$ 是奇函数，故其泰勒展开只含奇次幂，说明所有偶阶导数在 $0$ 处为 $0$。因此对原函数：

$$ f^{(2m)}(0)=0\quad(m\ge1). $$

这直接解释了为什么 $f^{(100)}(0)=0$。

对奇阶导数，利用链式法则

$$ \frac{d^n}{dx^n}\tanh(bx)\bigg|_{x=0}=b^n\cdot \tanh^{(n)}(0), $$

以及 $f^{(n)}(0)=-\frac{1}{2}$ 倍该值，可得奇阶的通项公式。

奇阶导数的闭式（含伯努利数）

已知泰勒展开（关于 $x$）：

\[ \tanh x=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2^{2k}(2^{2k}-1)B_{2k}}{(2k)!}\,x^{2k-1}, \]

其中 $B_{2k}$ 是伯努利数。由此得到对 $n=2k-1$（奇数）

\[ \tanh^{(2k-1)}(0)= (2k-1)!\cdot\frac{2^{2k}(2^{2k}-1)B_{2k}}{(2k)!} =\frac{2^{2k}(2^{2k}-1)B_{2k}}{2k}. \]

因此对 $f$：

\[ \boxed{f^{(2k-1)}(0)=-\frac{1}{2}\,b^{2k-1}\,\tanh^{(2k-1)}(0) =-\frac{1}{2}\,b^{2k-1}\cdot\frac{2^{2k}(2^{2k}-1)B_{2k}}{2k},} \]

稍整理可写成

\[ \boxed{f^{(2k-1)}(0)=-\frac{2^{2k-1}(2^{2k}-1)B_{2k}}{2k}\;b^{2k-1},} \quad\text{其中 }b=\frac{\ln2}{2}. \]

验证前几项（直观感受规律）

从已知的 $\tanh$ 展开： $\tanh x= x-\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}-\frac{17x^7}{315}+\cdots$。

$k=1$（一阶导）：$\tanh'(0)=1$，

$$ f'(0)=-\tfrac{1}{2} b\cdot 1=-\frac{b}{2}=-\frac{\ln2}{4}. $$

$k=2$（三阶导）：$\tanh^{(3)}(0)=-2$（因为系数 $-1/3$ 对应 $3!(-1/3)=-2$），

$$ f^{(3)}(0)=-\tfrac{1}{2} b^{3}(-2)=b^{3}=\left(\frac{\ln 2}{2}\right)^3. $$

$k=3$（五阶导）：系数 $2/15$ 对应 $\tanh^{(5)}(0)=16$，

$$ f^{(5)}(0)=-\tfrac{1}{2} b^5\cdot 16=-8\,b^5. $$

总结

偶数阶导数在 $0$ 都为 $0$（所以 $f^{(100)}(0)=0$）。
奇数阶导数有明确闭式，且可用伯努利数写出通项：

$$ f^{(2k-1)}(0)=-\frac{2^{2k-1}(2^{2k}-1)B_{2k}}{2k}\left(\frac{\ln2}{2}\right)^{2k-1}. $$