记录一道泰勒公式相关的考研数学题

今天，有个学长（烤盐糕守）发给了我一道树穴题（据说是刚出锅的热乎题）

问题：极限 $lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{(x-ln(1+x))(1-cosx)}{x^2-sin^2xcosx}=?$

方法一：洛！

计算量巨大，不做展开

方法二：泰勒

先放答案： $$ \begin{align} &\ \ \ \ \ lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{(x-ln(1+x))(1-cosx)}{x^2-sin^2xcosx}\enclose{circle}{1}\ &= lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{(x-ln(1+x))(1-cosx)}{x^2-(x-\frac{1}{6}x^3)^2(1-\frac{x^2}{2})}\enclose{circle}{2}\ &= lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{(x-ln(1+x))(1-cosx)}{\frac{5}{6}x^4}\enclose{circle}{3}\ &= lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{(x-(x-\frac{x^2}{2}))\frac{x^2}{2}}{\frac{5}{6}x^4}\enclose{circle}{4}\ &= \frac{3}{10}\enclose{circle}{5} \end{align} $$

分母（式①到式②）怎么来的？

因为无穷小的运算法则：$o(x^n)+o(x^m)=o(x^{min(n,m)})$，低阶（无穷小）相应的更大，而分母的泰勒展开是直接要最小项的（无穷小的运算法则让它展开为最小项），所以要用更大的那个无穷小去算

对于分母 ${x^2-sin^2xcosx}$，cos的阶数是平方，所以取 $x^4$ 作为实质的最小项（$x^2$ 消掉了） $$ \begin{align} &\ \ \ \ \ lim_{x\rightarrow 0}\ {x^2-sin^2xcosx}\ &= lim_{x\rightarrow 0}\ x^2-(x-\frac{1}{6}x^3)^2(1-\frac{x^2}{2})\ &= lim_{x\rightarrow 0}\ x^2-(x^2-\frac{1}{3}x^4+\frac{1}{36}x^6)(1-\frac{x^2}{2})\ &容易观察到，x^2项全消了，所以最小项就是x^4\ &= lim_{x\rightarrow 0}\ \frac{1}{3}x^4 * 1 + x^2 * \frac{x^2}{2} \ &= lim_{x\rightarrow 0} \frac{5}{6}x^4 \end{align} \ $$ 如果只取sin的第一项： $$ (错误示范)\ \begin{align} &\ \ \ \ \ lim_{x\rightarrow 0}\ {x^2-sin^2xcosx}\ &= lim_{x\rightarrow 0}\ x^2-x^2(1-\frac{x^2}{2})\ &= lim_{x\rightarrow 0}\ \frac{x^4}{2} \end{align} \ $$ 显然是不完整的，有一部分的 $x^4$ 未考虑

综上所述：分母的泰勒展开是直接要最小项的，但是不是只取最终项，要完整的求出最小项（如本题中，是 $x^4$ ），根据如何得到最小项来判断泰勒展开需要多少项（其实展开多了也没事，反正不会是最小项）

分子（式③到式④）怎么来的？

分子泰勒展开，展开~~到和分母一样的阶数~~即可⑤

式子 $lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{(x-ln(1+x))(1-cosx)}{\frac{5}{6}x^4}$ 中，~~分母是四次方，所以分子也要展开到四次方~~（见后文，删除线中的内容和因果关系是错误的，但是本题中确实是展开到四次方） $$ \begin{align} &\ \ \ \ \ lim_{x\rightarrow 0}\ (x-ln(1+x))(1-cosx) \ &= lim_{x\rightarrow 0}\ (x-(x-\frac{1}{2}x^2))\frac{x^2}{2} \ &= lim_{x\rightarrow 0}\ \frac{x^4}{4} \end{align} $$ 相关例题：

试计算 $lim_{x\rightarrow 0}\ \frac{x-sinx}{x^3}$

解： $$ \begin{align} &\ \ \ \ \ lim_{x\rightarrow 0}\ \frac{x-sinx}{x^3}\ &\ \ \ \ \ 因为分母的最高项是三次方，故这里sinx也展开到三次方(这句话也是错误的，见下文 \ &= lim_{x\rightarrow 0}\ \frac{x-(x-\frac{1}{6}x^3)}{x^3}\ &= lim_{x\rightarrow 0}\ \frac{x-(x-\frac{1}{6}x^3)}{x^3}\ &= lim_{x\rightarrow 0}\ \frac{\frac{1}{6}x^3}{x^3}\ &= \frac{1}{6} \end{align} \ $$

为什么分子分母要等阶（⑤）？

高阶无穷小+低阶无穷小=低阶无穷小

所以无论展开几项都是一样的，都会只有最低阶（即展开后较靠前的部分）对于极限的计算有影响

故 无论分子分母，只需要展开到最低阶（即最终式子剩下的最低阶）

无需证明是否在极限值附近有界，只需要分子分母分别展开即可（这也是上文中删除线中句子错误的原因）

总结

计算此类题目（无法使用等价无穷小），只需要将分子分母中可以展开的项分别展开（目的是为了消项），展开到保留（最终结果的）最小项，再进行运算比较即可